Um número natural é um número primo quando ele tem exatamente dois divisores: o número um e ele mesmo.
Nos inteiros, é um primo se , e se p = ab com então ou . Existem infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C..
A propriedade de ser um primo é chamada "primalidade", e a palavra "primo" também é utilizada como substantivo ou adjetivo. Como "dois" é o único número primo par, o termo "primo ímpar" refere-se a todo primo maior do que dois.
Se um número inteiro tem módulo maior que um e não é primo, diz-se que é composto. Por convenção, os números 0, 1 e -1 não são considerados primos nem compostos.
O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatoração).
Os 100 primeiros números primos positivos são:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547
Exemplos de decomposições:
Os átomos da aritmética
Os gregos foram os primeiros a perceber que qualquer número natural, exceto o 1, pode ser gerado pela multiplicação de números primos, os chamados blocos de construção". A primeira pessoa, até onde se sabe, que produziu tabelas de números primos foi Eratóstenes, no terceiro século a.C. Ele escrevia inicialmente uma lista com todos os números de 1 a 1000. Em seguida escolhia o primeiro primo, 2, e eliminava da lista todos os seus múltiplos. Passava ao número seguinte que não fora eliminado e procedia também eliminando todos os seus múltiplos. Desta forma Erastótenes produziu tabelas de primos, mais tarde este procedimento passou a se chamar de crivo de Eratóstenes.
Durante o século XVII os matemáticos descobriram o que acreditavam ser um método infalível para determinar se um número N era primo: calcule 2 elevado a potência N e divida-o por N, se o resto for 2, então o número será primo. Em termos da calculadora-relógio de Gauss, esses matemáticos estavam tentando calcular 2N em um relógio com N horas. Em 1819, o teste dos números primos foi eliminado, pois funciona para todos os números até 340, mas falha para . Exceção descoberta com uma calculadora-relógio de Gauss contendo 341 horas utilizada para simplificar a análise de um número como 2341.
Teoremas dos números primos
Sabe-se que, à medida que avançamos na seqüência dos números inteiros, os primos tornam-se cada vez mais raros. Isto levanta duas questões:
O conjunto dos números primos seria finito ou infinito?
Dado um número natural n, qual é a proporção de números primos entre os números menores que n?
A resposta à primeira questão é que o conjunto dos primos é infinito, um resultado conhecido na parte central dos Elementos de Euclides, que lida com as propriedades dos números. Na proposição 20, Euclides explica uma verdade simples porém fundamental sobre os números primos: existe um número infinito deles. Pode-se demonstrar, em notação moderna, da seguinte forma:
Suponha, por absurdo, que o número de primos seja finito e sejam os primos.
Seja P o número tal que P = onde denota o produtório. Se P é um número primo, é necessariamente diferente dos primos , pois sua divisão por qualquer um deles tem um resto de 1. Por outro lado, se P é composto, existe um número primo q tal que q é divisor de P. Mas obviamente Logo existe um novo número primo. Há um novo número primo, seja P primo ou composto; este processo pode ser repetido indefinidamente, logo há um número infinito de números primos.
Uma outra prova envolve considerar um número inteiro n > 1. Temos n + 1 que, necessariamente, é coprimo de n (números coprimos são os que não têm nenhum fator comum maior do que 1). Provamos isto imaginando que a divisão do menor pelo maior tem resultado 0 e resto n e do maior pelo menor tem resultado 1 e resto 1. Assim, n(n + 1) tem, necessariamente, ao menos dois factores primos.
Tomemos o sucessor deste, que representamos como n(n + 1) + 1. Pelo mesmo raciocínio, ele é coprimo a n(n + 1). Ao multiplicar os dois números, temos [n(n + 1)] * [n + (n + 1) + 1]. Como um de seus fatores tem pelo menos dois factores primos diferentes e é coprimo ao outro, o resultado da multiplicação tem pelo menos três factores primos distintos. Este raciocínio também pode ser infinitamente estendido.
A resposta para a segunda pergunta acima é que essa proporção é aproximadamente , onde ln é o logaritmo natural.
Para qualquer inteiro k, existem k inteiros consecutivos todos compostos. O produto de qualquer sequência de k inteiros consecutivos é divisível por k! Se k não é primo, então k possui, necessariamente, um fator primo menor do que ou igual a.
Todo inteiro maior que 1 pode ser representado de maneira única como o produto de fatores primos.
Grupos e sequências de números primos
Pierre de Fermat (1601-1665) descobriu que todo número primo da forma 4n + 1, tal como 5,13,17,29,37,41, etc, é a soma de dois quadrados. Por exemplo:
5 = 12 + 22,
13 = 22 + 32,
17 = 12 + 42,
29 = 22 + 52,
37 = 12 + 62,
41 = 42 + 52.
Hoje são conhecidos dois grupos de números primos:
(4n + 1) - que podem sempre ser escritos na forma (x2 + y2); e (4n − 1) - nunca podem ser escritos na forma (x2 + y2).
Tratando-se de números primos é perigoso fazer uma generalização apenas com base numa observação, não solidamente comprovada matematicamente. Vejamos o exemplo: 31, 331, 3.331, 33.331, 333.331, 3.333.331 e 33.333.331 são primos mas 333.333.331 não é, pois (333.333.331 = 17 x 19.607.843).
Um olhar mais atento na forma como se distribuem os números primos revela que não há uma regularidade nesta distribuição. Por exemplo existem longos buracos entre os números primos, o número 370.261 é seguido de onze números compostos e não existem primos entre os números 20.831.323 e 20.831.533. Essa irregularidade na distribuição dos números primos é uma das razões de não existir uma fórmula matemática que produza todos os números primos. Algumas fórmulas produzem muitos números primos, por exemplo x2 − x + 41 fornece primos quando . Veja que para x = 41, a fórmula resulta em 412 que não é primo.
Não existe uma fórmula que forneça primos para todos os valores primos de x, de fato em 1.752 Goldbach provou que não há uma expressão polinomial em x com coeficientes inteiros que possa fornecer primos para todos os valores de x.
Não se sabe se há uma expressão polinomial ax2 + bc + c com que represente infinitos números primos. Dirichlet usou métodos para provar que se a, 2b e c não têm fator primo em comum, a expressão polinomial a duas variáveis ax2 + 2bxy + cy2 representa infinitos primos, quando x e y assumem valores positivos inteiros.
Fermat pensou que a fórmula forneceria números primos para . Este números são chamados de números de Fermat e são comumente denotados por Fn.
Maior número primo conhecido
Atualmente o maior número primo encontrado é 243.112.609 − 1 descoberto no dia 23 de agosto de 2008, num projeto de computação distribuída pela Internet, o GIMPS, que usa o tempo ocioso do processador de computadores pessoais, procurando por números primos específicos, do tipo 2p − 1, em que p é primo, chamados primos de Mersenne. Este último primo encontrado é o primo de Mersenne de número 46 e tem 12.978.189 dígitos.
Nos inteiros, é um primo se , e se p = ab com então ou . Existem infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C..
A propriedade de ser um primo é chamada "primalidade", e a palavra "primo" também é utilizada como substantivo ou adjetivo. Como "dois" é o único número primo par, o termo "primo ímpar" refere-se a todo primo maior do que dois.
Se um número inteiro tem módulo maior que um e não é primo, diz-se que é composto. Por convenção, os números 0, 1 e -1 não são considerados primos nem compostos.
O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatoração).
Os 100 primeiros números primos positivos são:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547
Exemplos de decomposições:
Os átomos da aritmética
Os gregos foram os primeiros a perceber que qualquer número natural, exceto o 1, pode ser gerado pela multiplicação de números primos, os chamados blocos de construção". A primeira pessoa, até onde se sabe, que produziu tabelas de números primos foi Eratóstenes, no terceiro século a.C. Ele escrevia inicialmente uma lista com todos os números de 1 a 1000. Em seguida escolhia o primeiro primo, 2, e eliminava da lista todos os seus múltiplos. Passava ao número seguinte que não fora eliminado e procedia também eliminando todos os seus múltiplos. Desta forma Erastótenes produziu tabelas de primos, mais tarde este procedimento passou a se chamar de crivo de Eratóstenes.
Durante o século XVII os matemáticos descobriram o que acreditavam ser um método infalível para determinar se um número N era primo: calcule 2 elevado a potência N e divida-o por N, se o resto for 2, então o número será primo. Em termos da calculadora-relógio de Gauss, esses matemáticos estavam tentando calcular 2N em um relógio com N horas. Em 1819, o teste dos números primos foi eliminado, pois funciona para todos os números até 340, mas falha para . Exceção descoberta com uma calculadora-relógio de Gauss contendo 341 horas utilizada para simplificar a análise de um número como 2341.
Teoremas dos números primos
Sabe-se que, à medida que avançamos na seqüência dos números inteiros, os primos tornam-se cada vez mais raros. Isto levanta duas questões:
O conjunto dos números primos seria finito ou infinito?
Dado um número natural n, qual é a proporção de números primos entre os números menores que n?
A resposta à primeira questão é que o conjunto dos primos é infinito, um resultado conhecido na parte central dos Elementos de Euclides, que lida com as propriedades dos números. Na proposição 20, Euclides explica uma verdade simples porém fundamental sobre os números primos: existe um número infinito deles. Pode-se demonstrar, em notação moderna, da seguinte forma:
Suponha, por absurdo, que o número de primos seja finito e sejam os primos.
Seja P o número tal que P = onde denota o produtório. Se P é um número primo, é necessariamente diferente dos primos , pois sua divisão por qualquer um deles tem um resto de 1. Por outro lado, se P é composto, existe um número primo q tal que q é divisor de P. Mas obviamente Logo existe um novo número primo. Há um novo número primo, seja P primo ou composto; este processo pode ser repetido indefinidamente, logo há um número infinito de números primos.
Uma outra prova envolve considerar um número inteiro n > 1. Temos n + 1 que, necessariamente, é coprimo de n (números coprimos são os que não têm nenhum fator comum maior do que 1). Provamos isto imaginando que a divisão do menor pelo maior tem resultado 0 e resto n e do maior pelo menor tem resultado 1 e resto 1. Assim, n(n + 1) tem, necessariamente, ao menos dois factores primos.
Tomemos o sucessor deste, que representamos como n(n + 1) + 1. Pelo mesmo raciocínio, ele é coprimo a n(n + 1). Ao multiplicar os dois números, temos [n(n + 1)] * [n + (n + 1) + 1]. Como um de seus fatores tem pelo menos dois factores primos diferentes e é coprimo ao outro, o resultado da multiplicação tem pelo menos três factores primos distintos. Este raciocínio também pode ser infinitamente estendido.
A resposta para a segunda pergunta acima é que essa proporção é aproximadamente , onde ln é o logaritmo natural.
Para qualquer inteiro k, existem k inteiros consecutivos todos compostos. O produto de qualquer sequência de k inteiros consecutivos é divisível por k! Se k não é primo, então k possui, necessariamente, um fator primo menor do que ou igual a.
Todo inteiro maior que 1 pode ser representado de maneira única como o produto de fatores primos.
Grupos e sequências de números primos
Pierre de Fermat (1601-1665) descobriu que todo número primo da forma 4n + 1, tal como 5,13,17,29,37,41, etc, é a soma de dois quadrados. Por exemplo:
5 = 12 + 22,
13 = 22 + 32,
17 = 12 + 42,
29 = 22 + 52,
37 = 12 + 62,
41 = 42 + 52.
Hoje são conhecidos dois grupos de números primos:
(4n + 1) - que podem sempre ser escritos na forma (x2 + y2); e (4n − 1) - nunca podem ser escritos na forma (x2 + y2).
Tratando-se de números primos é perigoso fazer uma generalização apenas com base numa observação, não solidamente comprovada matematicamente. Vejamos o exemplo: 31, 331, 3.331, 33.331, 333.331, 3.333.331 e 33.333.331 são primos mas 333.333.331 não é, pois (333.333.331 = 17 x 19.607.843).
Um olhar mais atento na forma como se distribuem os números primos revela que não há uma regularidade nesta distribuição. Por exemplo existem longos buracos entre os números primos, o número 370.261 é seguido de onze números compostos e não existem primos entre os números 20.831.323 e 20.831.533. Essa irregularidade na distribuição dos números primos é uma das razões de não existir uma fórmula matemática que produza todos os números primos. Algumas fórmulas produzem muitos números primos, por exemplo x2 − x + 41 fornece primos quando . Veja que para x = 41, a fórmula resulta em 412 que não é primo.
Não existe uma fórmula que forneça primos para todos os valores primos de x, de fato em 1.752 Goldbach provou que não há uma expressão polinomial em x com coeficientes inteiros que possa fornecer primos para todos os valores de x.
Não se sabe se há uma expressão polinomial ax2 + bc + c com que represente infinitos números primos. Dirichlet usou métodos para provar que se a, 2b e c não têm fator primo em comum, a expressão polinomial a duas variáveis ax2 + 2bxy + cy2 representa infinitos primos, quando x e y assumem valores positivos inteiros.
Fermat pensou que a fórmula forneceria números primos para . Este números são chamados de números de Fermat e são comumente denotados por Fn.
Maior número primo conhecido
Atualmente o maior número primo encontrado é 243.112.609 − 1 descoberto no dia 23 de agosto de 2008, num projeto de computação distribuída pela Internet, o GIMPS, que usa o tempo ocioso do processador de computadores pessoais, procurando por números primos específicos, do tipo 2p − 1, em que p é primo, chamados primos de Mersenne. Este último primo encontrado é o primo de Mersenne de número 46 e tem 12.978.189 dígitos.
